sinx+siny+sinz=0=cosx+cosy+cosz then prove that cos(x+y)+cos(y+z)+cos(z+x)=0

cos(θ − x) + cos(θ − y) + cos(θ − z)
= cos θ cos x + sin θ sin x + cos θ cos y + sin θ sin y + cos θ cos z + sin θ sin z
= cos θ[cos x + cos y + cos z] + sin θ[sin x + sin y + sin z]
= 0

Setting θ = x + y + z , we get cos(x + y) + cos(y + z) + cos(x + z) = 0.