sin[cot-1{cos(tan-1x)}]

sin (cot^-1 {cos (tan ^-1x)})

tan^-1 x = A  => tan A =x

sec A = √(1+x²) ==>  cos A = 1/√(1+x²)    so   A =  cos^-1(1/√(1+x²))

sin (cot^-1 {cos (tan ^-1x)}) = sin (cot^-1 {cos (cos^-1(1/√(1+x²))}) 

=sin (cot^-1 {(1/√(1+x²))})

if cot^-1 {(1/√(1+x²))} = B

{(1/√(1+x²))} = cotB  ==>  cosec B = {(√[(2+x²)/(1+x²)])}

sin B = {(√[(1+x²)/(2+x²)]} ==>  B  = sin ^-1 ({(√[(1+x²)/(2+x²)]})

sin {sin ^-1 ({(√[(1+x²)/(2+x²)]})} = √[(1+x²)/(2+x²)]

the answer is √[(1+x²)/(2+x²)]

Let, sin (cot^-1 {cos (tan ^-1x)}) = T

Let, tan^-1 x = A                                   or                    T = sin (cot^-1 {cos (A)})

=> tan A = x;  sec A = √(1+x²) ==>  cos A = 1/√(1+x²)   

 T = sin (cot^-1 {cos (A)})  =   sin (cot^-1 {(1/√(1+x²))})

Let, cot^-1 {(1/√(1+x²))} = B                  or                  T = sin (B)

{(1/√(1+x²))} = cotB  ==>  cosec B = {(√[(2+x²)/(1+x²)])} ==> sin B = {(√[(1+x²)/(2+x²)]} 

Hence, T = sin (B) = √[(1+x²)/(2+x²)]

Therefore, the answer is, T = √[(1+x²)/(2+x²)]