Flag Analytical Geometry> If G be the centroid of a triangle ABC, p...
question mark

If G be the centroid of a triangle ABC, prove that, AB2+BC2+CA2=3(GA2+GB2+GC2). Please explain with detailed solution.

Piyush Upadhyay , 7 Years ago
Grade 11
anser 2 Answers
Arun

Last Activity: 7 Years ago

 
Let A (x1y1), B(x2y2) and C(x3y3), be the vertices of ABC.
 
Without the loss of Generality, assume the centroid of the ΔABC to be at the origin, i.e. G = (0, 0).
 
Centroid of triangle ABC = [x1 +x2+x3/3, y1 +y2+y3/3]
 
Hence
x1 +x2+x3 = 0  and  y1+y2+y3 = 0
 
x1 + x2 + x3 = 0 and y1 + y2 + y3 = 0
Squaring on both sides, we get
x12 + x22 + x32 + 2x1x2 + 2x2x3 + 2x3x1 = 0 and y12 + y22 + y32 + 2y1y2 + 2y2y3 + 2y3y1 = 0  … (1)
 
AB2 + BC2 + CA2
= [(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2] + [(x3 – x2)2 + (y3 – y2)2] + [(x1 – x3)2 + (y1 – y3)2]
= [(x12 + x22 – 2x1x2 + y12 + y22 – 2y1y2) + (x22x32 – 2x2x3 + y22 + y32 – 2y2y3) + (x12 + x32 – 2x1x3 + y12 + y32 – 2y1y3)
= (2x12 + 2x22 + 2x32 – 2x1x2 – 2x2x3 – 2x1x3) + (2y12 + 2y22 + 2y32 – 2y1y2 – 2y2y3 – 2y1y3)
= (3x12 + 3x22 + 3x32) + (3y12 + 3y22 + 3y32)    (From (1))
= 3(x12 + x22 + x32) + 3(y12 + y22 + y32)    … (2)
 
3(GA2 + GB2 + GC2)
= 3 [(x1 – 0)2 + (y1 – 0)2 + (x2 – 0)2 + (y2 – 0)2+ (x3 – 0)2 + (y3 – 0)2]
= 3 (x12 + y12 + x22 + y22 + x32 + y32)
= 3 (x12 + x22 + x32) + 3(y12 + y22 + y32)    … (3)
 
From (2) and (3), we get
AB2 + BC2 + CA2 = 3(GA2 + GB2 + GC2)
 
 
Regards
Arun (askIITians forum expert)

Kushagra Madhukar

Last Activity: 4 Years ago

Dear student,
Please find the solution to your problem below.
 
Let A (x1y1), B(x2y2) and C(x3y3), be the vertices of ABC.
 
Without the loss of Generality, assume the centroid of the ΔABC to be at the origin, i.e. G = (0, 0).
 
Centroid of triangle ABC = [x1 +x2+x3/3, y1 +y2+y3/3]
 
Hence
x1 +x2+x3 = 0  and  y1+y2+y3 = 0
 
x1 + x2 + x3 = 0 and y1 + y2 + y3 = 0
Squaring on both sides, we get
x12 + x22 + x32 + 2x1x2 + 2x2x3 + 2x3x1 = 0 and y12 + y22 + y32 + 2y1y2 + 2y2y3 + 2y3y1 = 0  … (1)
 
AB2 + BC2 + CA2
= [(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2] + [(x3 – x2)2 + (y3 – y2)2] + [(x1 – x3)2 + (y1 – y3)2]
= [(x12 + x22 – 2x1x2 + y12 + y22 – 2y1y2) + (x22x32 – 2x2x3 + y22 + y32 – 2y2y3) + (x12 + x32 – 2x1x3 + y12 + y32 – 2y1y3)
= (2x12 + 2x22 + 2x32 – 2x1x2 – 2x2x3 – 2x1x3) + (2y12 + 2y22 + 2y32 – 2y1y2 – 2y2y3 – 2y1y3)
= (3x12 + 3x22 + 3x32) + (3y12 + 3y22 + 3y32)    (From (1))
= 3(x12 + x22 + x32) + 3(y12 + y22 + y32)    … (2)
 
3(GA2 + GB2 + GC2)
= 3 [(x1 – 0)2 + (y1 – 0)2 + (x2 – 0)2 + (y2 – 0)2+ (x3 – 0)2 + (y3 – 0)2]
= 3 (x12 + y12 + x22 + y22 + x32 + y32)
= 3 (x12 + x22 + x32) + 3(y12 + y22 + y32)    … (3)
 
From (2) and (3), we get
AB2 + BC2 + CA2 = 3(GA2 + GB2 + GC2)
 
Thanks and regards,
Kushagra

star
LIVE ONLINE CLASSES

Prepraring for the competition made easy just by live online class.

tv

Full Live Access

material

Study Material

removal

Live Doubts Solving

assignment

Daily Class Assignments