sina+simb+sinc=cosa+cosb+cosc=0

than prove that cos2a+cos2b+cos2c=0 and sin2a+sin2b+sin2c+0

Let cosa + i sina = x ; cosb + i sinb = y; cosc + i sinc = z

then 1/x = cosa –  i sina ; 1/y = cosb –  i sinb ; 1/z = cosc –  i sinc 

x + y + z = cosa + i sina + cosb + i sinb + cosc + i sinc  = (cosa + cosb + cosc) + i (sina + sinb + sinc) = 0  (Since cosa + cosb + cosc = sina + sinb + sinc = 0)

(x + y + z)²  = 0 

=> x² + y² + z² = – 2(xy + yz + zx)

= – 2xyz ( 1/x + 1/y + 1/z)

= –2xyz (  cosa –  i sina + cosb –  i sinb +  cosc –  i sinc)

= – 2xyz [( cosa + cosb +  cosc) –  i(sina + sinb + sinc) ] = 0  (Since cosa + cosb + cosc = sina + sinb + sinc = 0)

So, x² + y² + z² = 0

=> (cosa –  i sina)² + (cosb –  i sinb)² +  (cosc –  i sinc)² = 0  

=> cos²a – sin²a – 2i cosa sina   + cos²b – sin²b – 2i cosb sinb + cos²c – sin²c – 2i cosc sinc = 0 

=> (cos 2a + cos 2b + cos 2c) – i (sin 2a + sin 2b + sin 2c) = 0

=> (cos 2a + cos 2b + cos 2c) =  (sin 2a + sin 2b + sin 2c) = 0