if a3+ b3 = a-b show that a2 + b2 < 1 if a,b are +ve reals

a,b positive reals so

a³ + b³ > 0    ,   so a - b > 0   so,  a > b.

As  a > 0, b > 0,     so, (a+b) > (a - b )   so ,  ((a-b) / (a + b)) < 1.

As,  a³ + b³ = a - b    so, a - a³  =  b + b³    so,  a/b = 1 + b² / 1 - a²

Sy componendo-dividendo,    we have   (a+b)/(a-b) = (2 - a² + b²) / (a² + b² )

so,  (a+b)/(a-b)  > 1,  we have   (2 - a² + b²) > (a² + b² )which gives,     a² < 1  so  0 <a <1,  as, b < a, so 0 < b < a < 1

so, ab<1.

a³ + b³  = a - b     given,

so, (a + b)(a² + b² - ab) = (a-b)

so,  a² + b² - ab  =   (a-b) / (a + b)

from above we have Right Hand Side less than 1,

so, a² + b² - ab < 1   so,  a² + b² < ab

As, ab < 1,

we have,           a² + b² < 1.

Hence Proved.